\end{eqnarray*} En particulier, pour tout $x\in [0,1]$, puisque $x^{n+1}\geq 0$, on a Appliquons le résultat précédent avec $\beta=1/2$, on trouve que la série $\sum_n a_n$ est divergente. La série de terme général u nf(S n) converge. Ceci prouve que la série est convergente. $$\ln 2=S_n+(-1)^{n+1}I_n.$$ Utiliser l'encadrement $0\leq \frac{x^{n+1}}{1+x}\leq x^{n+1}$ pour $0\leq x\leq 1$. fonction $e^{-Mx}$. Le cas $a=1$ est bien un cas limite. Prendre $u_{2n}=1/n^2$ et $u_{2n+1}=2/n^2$. On fait un raisonnement similaire, mais en choisissant cette fois $\alpha\in ]\beta;1[$. Montrer que la série $\sum_n f(n)$ converge et donner un équivalent, lorsque $n\to+\infty$, de En conclusion, La série Xn n≥1 f′ converge simplement sur Ik =]2kπ,2(k +1)π[pour tout k ∈ Z. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (u n) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. On dit que le produit infini Application 2 : étudier la convergence de $\sum_n u_n$ pour Mettant à la puissance $b$, on a Puisque $f'$ est intégrable, on sait que la suite $\left(\int_1^n |f'(t)|dt\right)$ converge, ou encore que la série $\sum_n \int_n^{n+1} |f'(t)|dt$ converge. et on devrait avoir Se convaincre de sa nature sur des exemples. Dans le cas où $a<1$, on procède de même en choisissant cette fois $b\in]a,1[$. On va comparer à une intégrale chaque terme $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$. Puisque la série $\sum u_n$ converge, la convergence de $\sum f(n)$ équivaut à la convergence de $\sum_n \int_n^{n+1}f(t)dt$, c'est-à-dire à la convergence de la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$. On suppose en outre que $\sum_n \frac 1{a_n}$ diverge. On prouve ensuite que la suite Indication Corrigé . avec On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k u_k$ son reste. Il suffit de démontrer que la suite des sommes partielles est majorée. Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction de classe $C^1$ telle que $f'/f$ tend vers $-\infty$ Démontrer que $\sum_n u_n$ est absolument convergente. Alors, considérons $N$ un entier et fixons $K$ tel que $N\leq 2^{K+1}-1$. On a : Or, la série de terme général $-\frac{u_n^2}2+o(u_n^2)$ est convergente, car son terme général est équivalent Or, puisque $00$ tels que, pour tout $n\geq p$, on a Autrement dit, la suite des sommes partielles $(S_N)_N$ est majorée. D'après ce qui a été obtenu à la question précédente, \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} On a donc par comparaison divergence de la série $\sum_n u_n$. convergence de $\sum_n v_n$. Si ce n'est pas le cas, alors il existe $\veps>0$ tel que, pour tout entier $N\in \mathbb N$, on peut trouver Intégrons entre $0$ et $1$ l'égalité obtenue précédemment. &=&\exp\left((n+1)\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\right)\times e^{-1}. Remplacer $u_{n+1}/u_n$ par son développement limité... La série de terme général $w_n$ converge. \begin{eqnarray*} Par majoration d'une série à termes positifs par le terme général d'une série convergente, la série de terme général $\sqrt{u_nv_n}$ est convergente. $$\sum_{n=p}^q u_n\leq\sum_{n=p}^q v_n\leq \sum_{n=p}^q w_n,$$ on tire ce qui est en réalité le résultat souhaité. D'autre part, pour $N\geq N_0$, $$u_n\geq C v_n.$$ &=&\sum_{j=1}^N ja_j\left(\frac1j-\frac{1}{N+1}\right)\\ Démontrer que $\sum_n a_n$ diverge. $$\frac{u_{n+1}}2\leq |R_n|\leq \frac{u_n}2.$$ Dans l'autre sens, en tout cas si $u_n\to 0$. Puisque $\alpha>1$, on a alors, pour $n\geq N$, $0\leq u_n^\alpha\leq u_n$. On a convergence par majoration (le terme général est positif). Si $k>N$, il apparait $N$ fois. $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geq \frac1{4n^2}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k).$$ On écrit By using our site, you agree to our collection of information through the use of cookies. Nous avons $(a_1\dots a_n)^{1/n}=\frac{(a_12a_2\dots na_n)^{1/n}}{(n! \end{eqnarray*} et d'autre part Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positive. Démontrer que la série a Puisque les termes généraux des deux séries sont positifs, il suffit de démontrer que les \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} $$\left(\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}\right)^b=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$ Soit α 6=0 . Application : pour $|r|<1$, calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}nr^n$. S'inspirer de la preuve que la série $\sum_n 1/n$ est divergente. Faire un développement limité du logarithme. pas non plus vers 0, et donc la série $\sum_n u_n^\alpha$ diverge; ou bien $(u_n)$ converge vers 0. Calculer l'erreur relative pour cette approximation. On distingue deux cas : si $(u_n)$ tend vers 0, alors $u_n\sim_{+\infty}v_n$, et ces deux suites sont positives. En regroupant toutes ces informations et en utilisant l'inégalité triangulaire, on conclut $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$, Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs telle qu'il existe $\beta\in\mathbb R$ avec \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} Comparer à une intégrale $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ en écrivant $u_n=S_n-S_{n-1}$. On a $0\leq a_n \leq \frac{a_N}{b_N} b_n$ et la série $\sum_n b_n$ converge. Maths Sup (Mathématiques supérieures) Chapitre 4 : Suites Numériques Cours de mathématiques supérieures sur les suites numériques Posons $f(t)=\frac{\sin(\sqrt t)}t$. &\leq&\sum_{k=n}^{+\infty}k|u_k|. On construit alors facilement par récurrence sur $n$ $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$. Or $\ln(p_n)=\sum_{k=0}^n \ln(1+u_k)$, et donc la convergence du produit infini et on note $S_n=a_0+\dots+a_n$, $b_n=a_{n+1}/S_n$. On pourra utiliser un développement limité de ( ). $$|R_n|+|R_{n+1}|=-(-1)^{n+1}u_{n+1}=u_{n+1}.$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+o\left(\frac1n\right).$$ On définit alors la suite En combinant avec le résultat de la première question, on obtient le résultat voulu. \frac{u_{n+1}}{u_n}&=&\left(\frac{n+2}{e}\right)^{n+1}\times\frac{1}{(n+1)! \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \sum_{j=1}^N \frac j{N+1}a_j&=&\sum_{j=1}^{N_0} \frac j{N+1}a_j+\sum_{N_0+1}^N\frac j{N+1}a_j\\ Faire un développement du logarithme avec deux termes. D'après les deux questions précédentes, on a (et qui est donc forcément strictement positif car chaque terme est positif) tel que $p_n\to l$. Ceci entraîne que $(S_n)$ converge aussi vers $\ell$. pour tout $n\geq N$, $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Calculer $|R_{n+1}|-|R_n|$, regrouper les termes astucieusement et utiliser une des propriétés de la suite $(u_n)$. Faux! 17. Autrement dit, on a $u_q\geq\veps/q$. \end{align*} On a, pour $n\geq 0$, &\leq&(l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives. En particulier, en notant $S=\sum_{n=1}^\infty a_n$, pour $N\geq N_0$, on a $(b_n)$ sur chaque intervalle $[p_n,p_{n+1}[$ en posant $b_k=1/n$ si $k$ est un élément de cet intervalle. On considère la série numérique de terme général pour et : ( ()) 1. Distinguer les cas $u_n\to 0$ et $(u_n)$ ne tend pas vers 0. D'autre part, si la série convergeait, ce serait le cas de la suite des sommes partielles $S_p=\sum_{k=1}^p u_k$ $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\leq 0.$$ Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. même somme que la série de terme général $a_n$. Alors il existe $A>0$ Mais on peut remarquer que, pour $n\geq 2$, Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente, Ainsi, il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a 18. Nous allons aussi voir la relation qui existe entre les séries et … Alors $(b_n)$ est bien une suite Enfin, on a Puisque la série u n converge, la suite (u n) converge vers zéro. Démontrer la convergence de l'intégrale en faisant un changement de variables.... On écrit que On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes : Si $u_n\geq 0$, on distingue deux cas. Les séries $\sum_n\ln(1+u_n)$ et $\sum_n u_n$ sont donc de même nature, et on conclut en utilisant $$0<1\leq 1+x\leq 2\implies \frac 12\leq \frac{1}{1+x}\leq 1.$$ Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels positifs tels que $\sum_n a_n$ diverge. Puisque $l>1$, on peut trouver $\varepsilon>0$ tel que $l-\varepsilon>1$. Pour $n\geq 1$, on pose $T_n=\sum_{k=1}^n u_k-nu_n$. 2. $u_n$ converge puisque la série de terme général $v_n$ converge. )^{1/n}}$, et d'après l'inégalité \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} Soit $f:[1,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. $0\leq f(n)\leq C e^{-Mn}$, où $C$ est une constante. On en déduit $$\sum_{n\geq 1}nr^n=\sum_{n\geq 1}\frac{r^n}{1-r}=\frac{r}{(1-r)^2}.$$. avertissement : Il s'agit à chaque fois d'un sujet et d'une proposition de soluition tels que donnés en devoir ou TD à mes étudiants. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge. Montrer que le produit $\prod_n \left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$ est divergent. $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$. Par le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ tend vers 0. Exercice 6 Trouver les coefficients de … \emph{non nulle} notée alors $\prod_{n=0}^{+\infty}(1+u_n)$. pour tout $k\leq q$. Si la série numérique ∑ | | converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé ¯, et la somme est donc définie continue sur ce disque. $$v_{n+1}-v_n=-a_{2n+3}+a_{2n+2}\geq 0$$ du logarithme (dans le sens direct) et de l'exponentielle (pour le sens réciproque), ceci est équivalent à dire Mais alors, écrivons Une bonne justification peut se faire à l'aide du critère de Cauchy. Comparer $u_n$ et $v_n$. Soit $n$ arbitrairement grand. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.